数理逻辑 -> 命题逻辑
范式
真值表的规模会随命题变元（文字）的数量呈指数增长，使用范式替代真值表
- 有限个简单合取式（短语）的析取称 析取范式
- 有限个简单析取式（子句）的合取称 合取范式
否定联结词仅出现在文字之前
单独的文字可看作子句 / 短语 / 合取范式 / 析取范式
单独的短语 / 子句也可构成析取范式 / 合取范式
- P∨Q∨R 是子句 / 合区范式 / 析取范式 将文字看作短语即析取范式
- (P∨Q∨R) 是子句 / 合取范式 不可拆分
- P∨(Q∨R) 既不是合取范式也不是析取范式 析取析取范式，范式关注于当前的书写形式
析取范式指出公式何时为真，合取范式指出公式何时为假，故能替代真值表
命题公式的范式表达不唯一
主范式
对构成范式的短语和子句进一步规范化，形成唯一的主析取范式和主合区范式
极大项：子句状，每个极大项只有一个成假赋值，命题变元对应 0 命题变元的否定对应 1； Mi∨Mj=1
极小项：短语状，每个极小项只有一个成真赋值，命题变元对应 1 命题变元的否定对应 0； mi∧mj=0
- 析取范式中，每一个短语都是极小项且按编码从小到大排列，称 主析取范式
- 合取范式中，每一个子句都是极大项且按编码从小到大排列，称 主合取范式
对任何命题公式，主析取范式与主合取范式的项编码是互补关系
包含所有极小项的主析取范式为永真式，包含所有极大项的主合取范式为永假式
推理
推理的有效性不等同结论的真实性，因为前提可能为假；推理有效等价前提为真结论为真
推理规则
- 规则 P ：前提引用规则，可随时引用前提集合中的任意前提…废话
- 规则 T ：逻辑结果引用规则，可随时引用之前推导出来的逻辑结果…废话
- 规则 CP ：附加前提规则，多用反证法找冲突
数理逻辑 -> 谓词逻辑
解决命题逻辑的局限性（无法表达内部的逻辑关系），如三段论和含变量语句，
个体词
可以独立存在的客体，如主语宾语
- 个体词的取值范围称为 个体域（论域）
- 表示具体或特定的个体词称为 个体常量
- 表示抽象或泛指的个体词称为 个体变量
谓词
刻画客体性质或客体间关系，采用函数形式表达，定义域在个体域中取值，值域是 0/1
- 表示具体性质或关系的谓词称为 谓词常量
- 表示抽象或泛指的性质或关系的谓词称为 谓词变量
- 没有任何个体变量的谓词称为 0 元谓词
量词
全称量词 (∀x) ：每一个，刻画其个体域的特性谓词作为蕴含式的前件加入
存在量词 (∃x) ：至少有一个，刻画其个体域的特性谓词作为合取式的合取项加入
真值确定
(∀x)G(x) ：任意/所有 x 使 G(x) 为 1 则真；存在 x 使 G(x) 为 0 则假
(∃x)G(x) ：存在 x 使 G(x) 为 1 则真；任意/所有 x 使 G(x) 为 0 则假
当个体域是有限集合时，真值可用等价的命题公式表示
- (∀x)G(x) = G(x0) ∨ G(x1)… ∨ G(xn)
- (∃x)G(x) = G(x0) ∨ G(x1)… ∨ G(xn)
量词辖域
若量词后有括号，括号内的子公式为辖域；若量词后无括号，与量词邻接的子公式为辖域
- 变元 x 出现在使用变元的量词的辖域内，称 约束变元
- 若不是约束出现，则为 自由变元
- 一个公式中若无自由出现的个体变元，则称 闭式，故闭式是命题
前束范式
公式中的所有量词都在最前端且不含否定，这些量词的辖域都延伸到公式末端